Bonferroni Düzeltmesi Nedir?

Bonferroni Düzeltmesi, istatistiksel analizlerde birden fazla hipotez testi yapıldığında ortaya çıkan toplam hata oranını kontrol etmek için kullanılan bir yöntemdir. ANOVA testindeki gibi post-hoc çoklu karşılaştırmalar sırasında yanlış pozitif sonuç bulunmasının olasılığını azaltmayı hedefler. Bunu, her bir test için anlamlılık düzeyini ayarlamak yoluyla genel hata riskini minimize ederek yapar. Bonferroni Düzeltmesi, tıbbi araştırmalar ve psikoloji gibi alanlarda, Tip I hata riskinden kaçınarak güvenilir ve geçerli sonuçlar elde etmek isteyen araştırmacıların kullanması gereken bir uygulamadır.

Bonferroni Düzeltmesi Nedir?

Bonferroni Düzeltmesi, istatistiksel analizlerde birden fazla hipotez testi yapıldığında ortaya çıkan yanlış pozitif sonuçların (Tip I hata) kontrolünü sağlamak için kullanılan bir yöntemdir. Çoklu karşılaştırmalar yaparken kullanılır. Örnek üzerinden anlatırsam “çoklu karşılaştırmalar” ifadesi daha iyi anlaşılacak.

Bonferroni düzeltmesi kullanımına bir örnek vereyim:

Mesela GS – FB – BJK taraftarlarının zeka seviyesini karşılaştırmak için bir Tek Yönlü ANOVA testi yaptık. Sonuçta anlamlı bir sonuç ortaya çıktı (p < .05). Biz daha sonra, bu anlamlı sonuç hangi takım taraftarları arasında diye incelemek istersek 3 kere ikili karşılaştırma yapmamız gerekiyor. GS – FB, GS – BJK ve FB – BJK taraftarlarının zeka seviyelerini ayrı ayrı 3 kere karşılaştırıyoruz. Bunu yaparken, aynı t-testi yaparken olduğu gibi, her iki takımın zeka seviyeleri arasında fark olup olmadığını ifade eden birer tane p değeri buluyoruz, yani toplamda 3 tane p değeri.

İşte Bonferroni düzeltmesi tam da burada devreye giriyor. Hipotez test ederken, her istatistiksel testin yanlış pozitif sonuç bulma riskini ifade eden bir α anlamlılık düzeyi bulunmaktadır (p-değeri ile aynı şey). Bu, genellikle 0.05 olarak belirlenir. Yani, 0.05 anlamlılık seviyesi kullanılarak yapılan bir hipotez testinde yanlış pozitif bir sonuç bulma ihtimali %5 demektir bu. Biz 1 hipotezi test etmek için 3 kere ayrı ayrı test uyguladığımızda, yanlış pozitif sonuç bulma ihtimali 3 x %5 oluyor yani 3 katına çıkarak %15 oluyor gibi düşünebilirsiniz. Bu “total yanlış pozitif sonuç bulma riski”ni, bizim istediğimiz seviye olan %5’e geri çekmek için Bonferroni düzeltmesi yapılıyor.

Bonferroni Düzeltmesi Formülü

Bonferroni Düzeltmesi, bu toplam Tip I hata olasılığını kontrol altında tutmak için her bir testin anlamlılık düzeyini yapılan test sayısına (n) bölerek ayarlar. Yani, düzeltilmiş anlamlılık düzeyi α’ = α / n şeklinde hesaplanır.

Örneğin 6 tane ikili karşılaştırma yaptığımız zaman Bonferroni düzeltmesi sonucunda bulacağımız düzeltilmiş p-değeri aşağıdaki gibi hesaplanıyor:

Bonferroni Düzeltmesi Örnek Uygulama

2 farklı örnek üzerinden Bonferroni Düzeltmesi nasıl çalışır göstereyim:

• Mesela, GS – FB – BJK olmak üzere 3 farklı grubun ANOVA testi ile karşılaştırılması sonucu anlamlı bir fark olduğu bulundu. Hangi grupların anlamlı olarak farklı olduğunu bulmak için 2’li karşılaştırma yapmamız gerekiyor: GS – FB; GS – BJK; FB – BJK yani 3 tane karşılaştırma. Her ikili karşılaştırma sonucunda elimize 1 adet p değeri geçiyor yani toplamda 3 tane p değeri. O zaman, “0.05 / 3 = 0.017” işlemiyle, Bonferroni düzeltmesi yapılmış yeni anlamlılık düzeyimiz 0.017 olmaktadır. Yani, ikili karşılaştırmalarda artık 0.05’ten küçük p değerlerini değil, 0.017’den küçük p değerlerini istatistiksel olarak anlamlı kabul edeceğiz demek oluyor.
• 4 farklı grubun (GS – FB – BJK – TS) zeka seviyelerini ANOVA testiyle karşılaştırdık ve anlamlı bir sonuç bulduk. Hangi grupların anlamlı olarak farklı olduğunu bulmak için 2’li karşılaştırma yapmamız gerekiyor yine. Bu sefer karşılaştırma yapacağımız ikili gruplar şu şekilde: GS – FB, GS – BJK, GS – TS, FB – BJK, FB – TS, BJK – TS. Yani toplam 6 tane ikili karşılaştırma var gördüğünüz gibi. Her ikili karşılaştırma sonucunda elimize 1 adet p değeri geçiyor yani toplamda 6 tane p değeri. Bu noktada, Bonferroni düzeltmesi yaparken, baştaki 0.05 olan p anlamlılık değerini grup sayısına değil, ikili karşılaştırma sayısına bölmek gerektiğini unutmayın. Bonferroni düzeltmesi sonucu 0.05 / 6 = 0.008 bulduk. Artık, her ikili grup karşılaştırmasının anlamlı olup olmadığına karar vermek için, o ikili karşılaştırma sonucu elde edilen p değerinin 0.008’den küçük olması gerekmeye başladı.

Bonferroni Düzeltmesi Dikkat Etmek Gerekenler

Bonferroni Düzeltmesi yöntemi, basitliği ve kolay uygulanabilirliği nedeniyle yaygın olarak kullanılır. Ancak, test sayısı arttıkça (yani karşılaştırılan grup sayısı ve buna bağlı olarak yapılan ikili karşılaştırma sayısı) Bonferroni düzeltmesiyle elde edilen yeni p değeri daha düşük hale gelir. Mesela 6 gruba sahip bir ANOVA için Bonferroni düzeltmesi yapmak istediğimizde 6’nın 2’li kombinasyonu olan 15 farklı ikili karşılaştırma yapmak gerekmekte. O zaman Bonferroni düzeltmesi formülünü uygularsak “0.05 / 15 = 0.003” yani yeni p anlamlılık değerimiz 0.003 oluyor, her ikili karşılaştırma sonucunda elde edilen p değeri yalnızca 0.003’ten küçük ise o iki grup arasındaki fark anlamlıdır diyebiliyoruz.

Gördüğünüz gibi grup sayısı arttıkça p seviyesi o kadar düşebiliyor ki daha düşüğe geçmesi çok zor olmaya başlayabiliyor. O zaman hiçbir ikili karşılaştırma sonucu anlamlı değer bulamama ihtimalimiz giderek artmış oluyor. Bu durum da bu sefer gerçekten anlamlı olan farkların gözden kaçmasına (Tip II hata) neden olabiliyor.

Bu nedenle, Bonferroni Düzeltmesi özellikle çok sayıda hipotez testi yapıldığında konservatif yani “Tip I hatayı minimize ederken Tip II hatayı yükselten” bir yaklaşım olarak değerlendirilmektedir. Bonferroni testine alternatif olarak, daha az katı olan Tukey ve Sidak gibi diğer düzeltme yöntemleri de bulunmaktadır. Bonferroni düzeltmesi dışında birçok farklı post-hoc testinin kullanımı hakkında bilgi sahibi olmak için post-hoc analizi hakkındaki geniş yazımı okuyabilirsiniz.

Bonferroni Düzeltmesi sadece ANOVA testinden sonra post-hoc testi olarak kullanılmaz. Ki-kare testi ile kategorik veriler arasındaki ilişki incelenirken, birden fazla kategorik karşılaştırma yapıldığında Bonferroni Düzeltmesi kullanılarak anlamlılık düzeyi ayarlanır. Çoklu regresyon modellerinde, birden fazla bağımsız değişkenin etkilerini test ederken her bir regresyon katsayısının anlamlılığını değerlendirirken de Bonferroni Düzeltmesi uygulanabilir. Birden fazla faktörün etkilerini inceleyen deneysel tasarımlarda, her faktörün ayrı ayrı etkisini test ettiğimiz her durumda Bonferroni Düzeltmesi uygulanabilir.

SPSS’te Bonferroni Düzeltmesi

Bonferroni düzeltmesi elle veya hesap makinesiyle kolayca hesaplanabilen bir işlem olmasına karşın, SPSS programında otomatik olarak da yapılabilir.

SPSS üzerinde bir örnek göstereyim. 3 farklı cinsiyetin (kadın, erkek, diğer) SDO seviyelerini karşılaştırmak için bir ANOVA testi yaptım. ANOVA testi anlamlı çıktı, Bonferroni düzeltmesi uygulayarak hangi grup çifti (veya çiftleri) arasında anlamlı fark var diye bakacağım.

SPSS’teki ANOVA penceresinde “Post Hoc” butonuna basıp, açılacak olan yeni pencerede bağımsız değişkenimi (cinsiyet) soldan sağdaki kutuya atıp menüden “Bonferroni” seçeneğini seçip analizi başlatıyorum.

SPSS’in bana sunacağı tablolardan birinin başlığı Post Hoc Tests – Multiple Comparisons olacak. Bu tablodaki Sig. sütununda p değerine karşılık gelen bölümü incelemeliyim.

Burada SPSS özelinde önemli bir not düşeyim: Yukarıda diyordum ki “Bonferroni düzeltmesi eşik p değerini değiştiriyor yani bulduğumuz p değeri artık örneğin 0.017’nin altındaysa anlamlı oluyor”. SPSS ile Bonferroni testi yaptığımız zaman bu böyle yürümüyor. SPSS, tabloları okuma kolaylığı açısından, Bonferroni düzeltmesi yaparken eşik p değerini düşürmek yerine ikili karşılaştırmalar yaparken bulduğumuz p değerini aynı oranda yükseltiyor.

Mesela bu örnekte 3 tane ikili karşılaştırma yaptık. SPSS, yeni p sınır değerini 0.05 / 3 = 0.017 olarak yapmıyor da, bütün ikili karşılaştırmalarda normalde bulunan p değerlerini 3 ile çarpıyor (ikili karşılaştırma sayısı ile çarpıyor). Yani örneğin aşağıdaki tabloda Kadın – Erkek arasındaki farkın p değeri 0.022 çıkmış. Aslında Kadın – Erkek arasındaki farkın p değeri 0.007’ymiş de, SPSS Bonferroni düzeltmesi yapınca bu p değerini 0.007 x 3 = 0.022 olarak göstermiş.

Yani eşik p değerini 0.017 yapıp Kadın – Erkek arasındaki farkın p değeri 0.007 oluşu sebebiyle “anlamlı fark var” demek yerine, SPSS eşik p değerini 0.05’te tutarak Kadın – Erkek arasındaki farkın p değerini 3 katına çıkararak 0.022 yapıyor ve bu değer 0.05’in altında olduğu için “anlamlı fark var” demiş oluyoruz. Aynı şey.

Dediğim gibi tablo okuma kolaylığı açısından SPSS’in yaptığı bir değişiklik bu. Aslında testin çalışma mantığı aynı, sadece gösterim farklı. Normalde SPSS tablosu okurken anlamlı bir fark var mı diye 0.05’in altında değer var mı diye bakıyoruz ya. SPSS’in Bonferroni testi tablo gösterimini böyle yapması sayesinde yine tabloda 0.05’in altındaki değerleri arayıp anlamlı farkı tespit etmemiz daha kolay oluyor bu sayede.

Yani SPSS’te Bonferroni testi tablosu okurken p değeri 0.05’ten düşük ise anlamlı, 0.05’ten büyük ise anlamsız olarak yorumlamamız gerekiyor.