SPSS ile MANOVA Analizi (Resimli)

spss ile manova

MANOVA (Çok Değişkenli [Multivariate] Varyans Analizi), birden fazla grubun arasında aynı anda birden fazla bağımlı değişkenin ortalamaları arasındaki farkları analiz etmek için kullanılan bir istatistiksel analiz yöntemidir. Bu blog yazısında, MANOVA analizinin ne olduğunu, analizin yapılabilmek için gereken varsayımları, SPSS ile nasıl yapılacağını ve sonuçlarının nasıl yorumlanması gerektiğini öğreneceksiniz. Hazırsanız, MANOVA analizine birlikte göz atalım!

spss analizi ücretli danışmanlık tanışma indirimi veri tablo rapor iletişim

spss tez analizi istatistik ödev yaptırma ücretli spss veri analizi danışmanlık

Doğrudan MANOVA Analizi Adımlarına Geçmek İçin Tıklayın

MANOVA Analizi Nedir?

MANOVA analizi, ANOVA analizinin 1 yerine 2 veya daha çok bağımlı değişken kullanılarak yapılan genişletilmiş bir versiyonudur. MANOVA (Çoklu Değişkenlerin Varyans Analizi), iki veya daha fazla grup için birden çok bağımlı değişken üzerindeki ortalamaların eşitliğini aynı anda test etmek için kullanılan istatistiksel bir tekniktir.

Farklı değişkenler için ayrı ayrı birden fazla ANOVA yapmak yerine 1 tane MANOVA yapmak, bağımlı değişkenler arasındaki ilişkileri dikkate alarak gruplar arasında istatistiksel olarak anlamlı farklılıkların olup olmadığını incelemeyi sağlar. Ayrıca, aynı “birden fazla t-testi yapmak yerine 1 adet ANOVA yapmak” mantığı gibi, birden fazla ANOVA yerine 1 tane MANOVA yapmak Tip I hata oranını azaltır ve daha doğru istatistiksel sonuçlara varmamızı sağlar. Ayrıca daha yüksek istatistiksel güce sahiptir (gerçekte var olan bir etkiyi bulma gücü daha yüksektir).

MANOVA, araştırmacılara, kategorik bağımsız değişkenlerin bir dizi sürekli bağımlı değişken ile olan ilişkilerini incelemelerine yardımcı olur. Örneğin, bir araştırmacı, farklı sosyo-ekonomik arka planlardan gelen öğrencilerin matematik notları ve müzik dersi notları arasında farklılıkların olup olmadığını incelemek için MANOVA’yı kullanabilir.

MANOVA analizinde, bağımlı değişkenler genellikle ilişkilidir, yani aynı fenomenin farklı yönlerini ölçerler. Gruplar arasındaki farklılıkların anlamlılığını test ederken bu bağımlı değişkenler arasındaki korelasyon dikkate alınır.

spss tez analizi istatistik ödev yaptırma ücretli spss veri analizi danışmanlık

MANOVA Örneklemi Nasıl Olmalı?

MANOVA analizi varsayımlarına geçmeden önce, en başta, üzerinde MANOVA analizi yapabileceğimiz veri setindeki bağımlı ve bağımsız değişkenlerin nasıl olması gerektiğine bakalım.

Bağımsız Değişken: MANOVA analizinde bağımsız değişken 2 veya daha fazla gruba sahip kategorik bir veri olmalıdır. Eğer 1 bağımsız değişken varsa bu “tek yönlü MANOVA” olur, 2 bağımsız değişken varsa buna “iki yönlü MANOVA” denir. Bu sayfada anlaşılır olması açısından Tek Yönlü MANOVA örneği anlatacağım.

Bağımlı Değişken: MANOVA analizi olabilmesi için en az 2 tane bağımlı değişken olmalıdır. Bu bağımlı değişkenlerin hepsi sürekli veri tipinde olmalıdır.

Ayrıca, bağımsız değişkenin her grubu için, veride (bağımsız değişkendeki grup sayısı x bağımlı değişken sayısı) çarpma işleminin sonucu kadar sayıda katılımcı olmalıdır.

MANOVA Analizi Varsayımları

MANOVA analizi yapmadan önce bazı varsayımların geçerli olup olmadığını kontrol etmek önemlidir.

  1. Normal dağılım: Verimizde çok değişkenli normal dağılım (Multivariate normality) olup olmadığına bakmalıyız.
  2. Uç Değer Olmaması: MANOVA analizi, veride uç değerlerin olmasına karşı hassastır. Bu yüzden analiz edilecek veride mümkün olduğunca uç değer bulunmamalıdır.
  3. Bağımlı Değişkenlerin Korelasyonu: Bağımsız değişkendeki her grup için, her bağımlı değişken çifti arasında doğrusal bir korelasyon ilişkisi olmalıdır.
  4. Çoklu Doğrusallık Olmamalı: Bağımlı değişkenlerin arasında korelasyon olması istense de bu korelasyonun miktarı çok yüksek olmamalıdır.
  5. Varyans-Kovaryans Matrislerinin Homojenliği: Bu varsayım, Box’s M testi kullanılarak kontrol edilebilir. Eğer gruplar arasında anlamlı bir fark varsa, MANOVA analizi sonuçlarından yanlış yöne işaret eden sonuçlar elde edilebilir. Varyansların homojenliği Levene’s Test ile de kontrol edilebilir fakat Box’s M testi ile varyans-kovaryans matrislerinin homojenliğine bakmanın MANOVA analizinde tercih edilmesi önerilir.

MANOVA analizi yapmadan önce bu varsayımların geçerli olup olmadığını kontrol etmek önemlidir. Varsayımlara uygun olmayan bir durumda, alternatif analiz yöntemleri veya dönüşüm teknikleri kullanılarak verilerin analizi yapılabilir. Bu şekilde, MANOVA sonuçları daha doğru ve güvenilir olacaktır.

spss tez analizi istatistik ödev yaptırma ücretli spss veri analizi danışmanlık

SPSS ile MANOVA Analizi Varsayımları Test Etme

SPSS ile MANOVA analizine başlamadan önce, varsayımları test etmemiz gerekmektedir. Varsayımları sırayla aşağıdaki gibi test edebiliriz.

Bu sayfada yapacağımız MANOVA örneğinde, 3 hasta grubumuz var. Bir gruba egzersiz tedavisi veriliyor, bir gruba ilaç tedavisi veriliyor, bir gruba da (kontrol grubu) hiçbir tedavi verilmiyor. Bu grupların aynı anda kan basıncı ve kolesterol seviyeleri arasında bir farklılık var mı ona bakacağız.

Uç Değer Varsayımı

MANOVA çok değişkenli bir analiz olduğu için, uç değer varsayımını, çok değişkenli uç değer belirleme yöntemi olan Mahalanobis uzaklığı ile test ediyoruz. Bu varsayımı, yalnızca doğrusal regresyon analizi penceresinden test edebiliyoruz.

Analyze -> Regression -> Linear

manova varsayım uç değer 1

 

MANOVA’daki bağımsız değişkenimizi Dependent, bağımlı değişkenlerimizi Independent(s) kutularına atıyoruz. Ters oldu çünkü şu an henüz MANOVA yapmıyoruz, sadece varsayım testi yapıyoruz.

manova varsayım uç değer 2

 

“Save” butonuna basıp açılan pencerede Mahalanobis’i işaretliyoruz. Continue ve OK’a basıyoruz.

manova varsayım uç değer 3

 

Veri setimize tekrar baktığımızda yeni bir değişkenin oluşmuş olduğunu göreceğiz. Burada, her katılımcı için bir Mahalanobis uzaklığı görünmektedir. Belli bir Mahalanobis uzaklığından büyük katılımcılar uç değer olarak tanımlanıp MANOVA’ya başlamadan önce veriden çıkartılmalıdır.

Hangi Mahalanobis uzaklığı değerinden büyük katılımcıların uç değer olduğu, veri setinizin içeriğine göre belirlenmelidir. Mahalanobis Uzaklığı hakkındaki yazımda detaylı olarak anlatıyorum.

Bu örnekteki veri setimde, 13 veya üzeri Mahalanobis uzaklığına sahip katılımcılar uç değer olarak sınıflanıp MANOVA öncesi veriden çıkartıldı. Sizin veri setinizde eşik Mahalanobis değeri farklı olabilir.

manova varsayım uç değer 4

 

Bağımlı Değişkenlerin Korelasyonu

Her grup için bağımlı değişkenlerin arasında korelasyon olup olmadığını SPSS ile aşağıdaki gibi test ediyoruz.

Graphs -> Scatter/Dot

manova varsayım korelasyon 1

 

Açılan pencerede Matrix Scatter işaretliyoruz.

manova varsayım korelasyon 2

 

Scatterplot Matrix penceresinde bağımlı değişkenlerimizi Matrix Variables’a, bağımsız değişkenimizi Row kutusuna atıyoruz.

(Eğer verinizde eksik veri varsa, Options’a basıp Exclude cases variable by variable seçmelisiniz.)

manova varsayım korelasyon 3

 

Önümüze bu tarzda bir grafik gelecek. Bu grafikte dikkat etmemiz gereken şey, noktaların sol alttan sağ üste ya da sol üstten sağ alta doğru eliptik bir şekilde dağılmış olmasıdır. Mükemmel bir dağılım olması gerekmez ama bu yönde ufak da olsa bir sinyal olmalıdır. İdeal dağılımı kırmızı elips ile çizdim. Bu örneğimizde ideal bir dağılım yok ama noktalar az da olsa sol alttan sağ üste doğru dağılıyor. O zaman varsayım doğrulandı diyebiliriz.

manova varsayım korelasyon 4

 

Çoklu Doğrusallık Olmaması (No Multicollinearity)

Bağımlı değişkenler birbirleriyle hiç korelasyon göstermiyorsa ya da çok fazla (0.8-0.9) korelasyon gösteriyorsa 1 adet MANOVA analizi yerine ayrı ayrı ANOVA analizleri yapmak daha doğru olacaktır. Bağımlı değişkenlerin korelasyonunu görmek için korelasyonları SPSS’te aşağıdaki gibi test ediyoruz.

Analyze -> Correlate -> Bivariate

manova varsayım multicollinearity 1

 

Bağımlı değişkenlerimizi Variables kutusuna atıyoruz. Altında Pearson seçili olmalı.

manova varsayım multicollinearity 2

 

SPSS’in bize verdiği Correlations tablosunda Pearson Correlation ve Sig. satırlarına bakıyoruz. Burada, 0.05’in altında bir Sig. yani p anlamlılık değeri olmalıdır. Pearson korelasyon katsayısı da 0.8’in ya da 0.9’un üzerinde olmamalıdır. Eğer üzerinde olursa çoklu doğrusallık olmuş demektir ve bu durumda MANOVA yapılmamalıdır.

Korelasyon miktarının 0.8 ya 0.9’un üzerinde olmamasını istiyoruz ama aynı zamanda istatistiksel olarak anlamlı ve korelasyon miktarı 0.2’nin üzerinde bir korelasyon olmasını da istiyoruz.

manova varsayım multicollinearity 3

Eğer 3 veya daha fazla bağımlı değişkenimiz olsaydı, her bir bağımlı değişken çiftinin korelasyonuna bakmamız gerekecekti. Eğer diğer bağımlı değişkenlerle anlamlı korelasyon göstermeyen bir veya daha fazla bağımlı değişken olduğunu görseydik, bu değişkenleri MANOVA analizine sokmamak gerekecekti. Bu değişkenlere ayrı olarak ANOVA analizi ile bakmak daha doğru olacaktı.

 

Normal Dağılım Varsayımı

İdeal olarak verimizde çok değişkenli normal dağılım (multivariate normality) olup olmadığına bakmalıyız. Fakat SPSS’te bunu doğrudan ölçemiyoruz. Bu yüzden genelde yaygın olarak kullanılan alternatif bir yöntem olarak her bağımlı değişkenin değerlerinin ayrı ayrı normal dağılım gösterip göstermediği test ediliyor. (univariate normality)

Analyze -> Descriptive Statistics -> Explore

manova varsayım normallik 1

 

Açılan pencerede bağımlı değişkenlerimizin hepsini Dependent List kutusuna atıyoruz.

manova varsayım normallik 2

 

“Plots” butonuna basıp “Normality plots with tests” seçeneğini işaretliyoruz.

manova varsayım normallik 3

 

SPSS’in bize vereceği Tests of Normality tablosunda Sig. değerleri 0.05’ten büyük ise normallik varsayımı sağlanmış diyebiliriz. Eğer düşük ise, normal dağılımın nasıl test edileceği hakkında detaylı yazımı linke tıklayarak okuyabilirsiniz.

manova varsayım normallik 4

 

MANOVA öncesi yapılması gereken bütün varsayım testleri bu kadardı. Artık asıl MANOVA analizini yapmaya geçebiliriz.

SPSS ile MANOVA Analizi Nasıl Yapılır?

MANOVA analizi genellikle 3 aşama ile özetlenebilir:

  1. MANOVA analizi yapma
  2. Eğer MANOVA analizi sonucu anlamlı ise ANOVA analizleri sonuçlarına bakma
  3. Eğer en az 1 tane anlamlı ANOVA analizi sonucu varsa Post Hoc veya Contrast testleriyle hangi gruplar arasında anlamlı farklılık olduğuna bakma

Bu sayfada yapacağımız MANOVA örneğinde, 3 hasta grubumuz var. Bir gruba egzersiz tedavisi veriliyor, bir gruba ilaç tedavisi veriliyor, bir gruba da (kontrol grubu) hiçbir tedavi verilmiyor. Bu grupların aynı anda kan basıncı ve kolesterol seviyeleri arasında bir farklılık var mı ona bakacağız. Gruplar şöyle kodlandı:

(5 = Egzersiz; 6 = İlaç; 7 = Kontrol)

Analyze -> General Linear Model -> Multivariate

manova spss 1

 

Bağımlı değişkenlerimizi Dependent Variables, bağımsız değişkenimizi Fixed Factors kutusuna koyuyoruz.

manova spss 2

 

“Options” butonuna basarak, aşağıdaki gibi descriptive statistics, effect size, power ve homogeneity tests seçeneklerini işaretliyoruz.

manova spss 4

 

Continue ve OK’a basarak analizi başlatabiliriz.

MANOVA Analizi SPSS Tablo Yorumlama

MANOVA analizimizi başlattıktan sonra, SPSS bize bir sürü tablo verecek. Bu tablolarda belli başlı yerlere bakmamız gerekiyor, şimdi bunları göstereceğim.

Öncelikle “Box’s Test of Equality of Covariance Matrices” başlıklı tabloya bakmalıyız. Buradaki Sig. p değeri 0.005’ten büyük olmalı (dikkat, 0.05’ten demedim). Box’s M testi örnekleme çok fazla duyarlı olduğu sıkça eleştirilmektedir. Yine de, 0.005’ten küçük bir Box’s M değeri bulursak MANOVA yapmaya devam etmemeliyiz.

manova spss 5

 

Daha sonra bakmamız gereken tablo “Multivariate Tests” tablosu. Burada 4 farklı test skoru bulunmakta. Bunlardan 1 tanesini seçip sonuçları ona göre okumalıyız. En çok kullanılan test skorları Pillai’s Trace ve Wilks’ Lambda.

Eğer MANOVA analizinden önce yaptığımız varsayım testlerinin hepsi varsayımları doğruluyorsa, Wilks’ Lambda seçmek daha doğru olacaktır.

Eğer MANOVA analizinden önce yaptığımız varsayım testleri sonucunda bazı varsayımları doğrulayamadıysak o zaman Pillai’s Trace seçmek daha doğru olacaktır çünkü Pillai’s Trace testi diğerlerine göre varsayım ihlallerine daha dayanıklıdır.

Bu örneğimizde varsayımlar doğrulanmış olduğu için Wilks’ Lambda satırındaki Sig. p değerine bakıyoruz. MANOVA testimizin p değeridir bu. Bu örnekte 0.026 çıkmış, 0.05’ten küçük olduğu için diyoruz ki: “MANOVA testi sonucu, test edilen bağımsız değişken grupları arasında bağımlı değişkenlerin en az 1 tanesi anlamlı bir farklılık göstermektedir.”

manova spss 6

 

MANOVA testinde anlamlı bir sonuç bulduktan sonra, artık bakmamız gereken yer yeni tablo ANOVA testlerinin sonucudur. “Tests of Between-Subjects Effects” tablosunda, Grup satırındaki Sig. p değerlerine bakıyoruz.

Burada, p eşik değerimiz 0.05 olmayacak. Bu örnekte 2 tane bağımlı değişkenimiz olduğu için MANOVA içinde 2 adet ANOVA testi yapmış olduk. Tip I hata oranını kontrol altında tutmak için, 0.05’i 2’ye bölmemiz gerekiyor. Buna Bonferroni düzeltmesi deniyor. Yeni p anlamlılık eşik değerimiz 0.025 oldu.

Kan Basıncı ile yapılan ANOVA testinin p değeri 0.647 çıkmış, demek ki kan basıncı bakımından gruplar arasında anlamlı bir farklılık yok.

Kolesterol ile yapılan ANOVA testinin p değeri 0.020 çıkmış. Bu değer 0.025 olan yeni eşik p değerimizden küçük olduğu için, diyoruz ki: “Kolesterol bakımından, test ettiğimiz bağımsız değişkenin gruplarının en az ikisi arasında anlamlı bir farklılık bulunmaktadır.”

Hangileri arasında anlamlı farklılık bulunduğunu görmek için şimdi Post Hoc veya Contrast testleri yapacağız.

manova spss 8

 

MANOVA Testi SPSS Post Hoc ve Contrast

Yaptığımız ANOVA testleri arasında anlamlı bir ANOVA bulduktan sonra o ANOVA’daki hangi gruplar arasında anlamlı bir farklılık bulunduğunu test etmek için post hoc veya contrast testleri yapacağız. Ben ikisini de göstereceğim. Post hoc testi yapmak daha popülerdir.

Post Hoc

Seçilebilecek bir sürü post hoc testi vardır. Doğru testi seçebilmek için, öncelikle bağımlı değişkenlerin kendi içindeki grupların varyanslarının homojen olup olmadığını bilmemiz gerekir. Buna, Levene’s Test ile bakıyoruz. MANOVA sonuç tablolarına tekrar bakarsak orada “Levene’s Test of Equality of Error Variances” başlıklı bir tablo göreceğiz. Bu tabloya bakmalıyız.

Deminki ANOVA testlerinde sadece Kolesterol değişkeninin ANOVA sonucu anlamlı çıkmıştı, bu yüzden tabloda sadece Kolesterol’ün Levene’s Test sonucuna bakmamız yeterlidir. Eğer en üst satırdaki based on mean sig. p değeri 0.05’ten büyük ise bu demektir ki Kolesterol bakımından grupların varyansları arasında homojenlik vardır.

manova spss 7

Gruplar arasında varyans homojenliği olup olmadığını öğrendiğimize göre, şimdi Post Hoc testini yapmaya geçelim. Yine Analyze -> General Linear Model -> Multivariate basarak MANOVA penceresini açıyoruz.

Açılan MANOVA penceresinde Post Hoc butonuna basarak bağımsız değişkenimizi sağdaki kutuya atıyoruz. Daha sonra, post hoc testini seçmeliyiz. Deminki Levene’s Test sonucunda varyansların homojen olduğunu bulmuştuk. Bu yüzden, Equal Variances Assumed bölümündeki post hoc testlerinden birini seçmeliyiz. En sık seçilenler Tukey, Scheffe ve LSD’dir.

Eğer gruplarımızın katılımcı sayıları yaklaşık eşitse Tukey, grupların katılımcı sayıları eşit değil ise Scheffe post hoc testi seçilmelidir. Eğer “MANOVA Tip I hata oranını yeterince düşürüyor, ben de post hoc testi sonucu illa anlamlı bir p değeri istiyorum” diye düşünüyorsanız da LSD testi seçilmelidir.

Eğer Levene’s Test sonucunda varyansların homojen olmadığını görseydik, o zaman post hoc testini yine bu penceredeki Equal Variances Not Assumed bölümünden seçmemiz gerekecekti. Bunların arasında en popüler olanlar da Tamhane’s H2 ve Games-Howell testleridir.

Bu örneğimizde gruplarımızın ikisi yaklaşık 70’er, üçüncüsü de 20 katılımcıdan oluştuğu için Scheffe post hoc testini seçip devam ediyorum.

manova post hoc 1

Continue ve OK’a bastıktan sonra, SPSS post hoc testi tablolarını verecek.

Demin sadece Kolesterol’ün ANOVA’sı anlamlı çıktığı için “Multiple Comparisons” tablosunda Kolesterol’ün olduğu bölüme bakmalıyız. Burada Sig. p değeri sütununda, 0.05’ten küçük bir değer var mı diye arıyoruz. Eğer 0.05’ten küçük bir değer olsaydı, o zaman diyecektik ki “o satırdaki ilgili iki grubun ortalama skorları arasında anlamlı bir farklılık vardır”.

Bu örnekte, MANOVA sonucu ve ANOVA sonucu istatistiksel olarak anlamlı çıkmasına rağmen, post hoc testi sonucunda anlamlı bir sonuç bulunamamıştır. Bunun sebebi, MANOVA testinin hem bağımlı değişkenlerin kendi içinde gruplar arası farklılıkları ölçmesi, hem de bağımlı değişkenlerin etkileşimlerinin gruplar arasındaki farklılıklarını ölçmesidir.

Ayrıca eğer Scheffe yerine LSD seçseydik muhtemelen en az 1 tane istatistiksel olarak anlamlı 0.05’ten küçük p değeri bulacaktık.

manova post hoc 2

 

Contrast

Deminki post hoc testi sonucunda istatistiksel olarak anlamlı bir fark bulunamamıştır. Yalnızca İlaç ve Kontrol grupları arasındaki farkın p değeri 0.107 çıkmıştır, 0.05’e en yakın değer bu. Bir de Post Hoc yerine Contrast yapma yöntemiyle gruplar arasında anlamlı herhangi bir fark var mı diye bakalım.

Bunun için, yine Analyze -> General Linear Model -> Multivariate basarak MANOVA penceresini açıyoruz.

“Contrasts” butonuna basıyoruz. Burası gruplar arasında ikili karşılaştırmalar yapmayı sağlıyor. Egzersiz ve İlaç tedavisi verilen grupları hiç tedavi verilmeyen Kontrol grubuyla karşılaştırmak en mantıklısı olacaktır. Bu yüzden, açılan pencerede Change Contrast’ı Simple olarak işaretliyoruz. Hatırlarsak Kontrol grubunu 7 olarak kodlamıştık yani diğer gruplardan daha yüksek bir sayı. Bu yüzden Reference Category’yi Last olarak seçmeliyiz. Artık referans kategorimiz 7 ile kodlanan Kontrol grubu oldu. (Egzersiz = 5; İlaç = 6; Kontrol = 7 olarak kodlanmıştı)

manova spss 3

 

Aşağıdaki “Contrast Results” tablosunda İlaç ve Egzersiz tedavi gruplarının hiç tedavi verilmeyen Kontrol grubuyla ikili karşılaştırmalarını görüyoruz. Burada, Sig. p değerine bakmalıyız.

(Burada Level 1 dediği 5 olarak kodlanan Egzersiz grubu, Level 2 ise 6 olarak kodlanan İlaç grubudur. Level 3 dediği de 7 olarak kodlanan Kontrol grubudur.)

Deminki Post Hoc analizi sonucundan farklı olarak, Level 2 ve 3 arasında (yani İlaç ve Kontrol grupları) 0.035 büyüklüğünde 0.05’ten küçük anlamlı bir p değeri bulunmuş. Bunun deminki post hoc analizindeki 0.05’e en yakın p değerine sahip olan gruplar olduğunu görmemiz şaşırtıcı değildir.

Contrast testi sonucu, “İlaç grubu, kontrol grubundan Kolesterol bakımından daha yüksek değere sahiptir” şeklinde bir çıkarım yapabiliriz. Fakat, çok sayıda post hoc ve contrast testi yapmış olmamıza rağmen toplamda sadece 1 adet ve 0.035 gibi 0.05’e çok yakın olan bir p değeri bulduğumuz için, “anlamlılık seviyesi yeterince yüksek değildir bu yüzden gruplar arasında çok anlamlı farklılık yoktur” şeklinde de bir yorumlama yapılabilir. Bu tarz çelişkili analiz sonuçlarının nasıl yorumlanacağı, analizi yapan kişinin verilere bakarak karar verme yeteneğine kalmıştır.

manova contrast

 

SPSS ile MANOVA analizi baştan sona bu kadardı. Başta dediğim gibi, bu sayfadaki MANOVA örneği tek bir bağımsız değişkenin grupları arasında farklı bağımlı değişkenlerin değerleri arasındaki farkı ölçmüştür. Eğer bundan sonra 2 veya daha fazla bağımsız değişkenin grupları arasındaki farklılıkları incelemek istiyoranız, İki Yönlü MANOVA başlıklı diğer yazımı okumanızı öneriyorum.

 

spss tez analizi istatistik ödev yaptırma ücretli spss veri analizi danışmanlık

Deniz Şavkay hakkında 141 makale
Lisans eğitimimi Boğaziçi Üniversitesi Moleküler Biyoloji ve Genetik bölümünde, Yüksek Lisans eğitimimi Polonya'daki SWPS Üniversitesi Psikoloji bölümünde tamamladım. Davranış bilimlerine ilgi duyuyorum ve eğitim hayatımı bunun üzerine şekillendirdim. SPSS ile istatistik analizi yapmayı çok seviyorum. SPSS analizleriyle insan davranışındaki kalıpları keşfetmek ve insan davranışı hakkında iç görü sahibi olmak beni heyecanlandırıyor.

İlk yorum yapan olun

Bir yanıt bırakın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak.


*